1. Base d’un système de numération
1.1 Principe d'une base
La base est le nombre qui sert à définir un système de numération.
La base du système décimal est dix alors que celle du système octal est huit.
Quelque soit la base numérique employée, elle suit la relation suivante :
Et : ai : puissance de la base a d'exposant de rang i
Exemple : base 10
1986 = (1 x 103) + (9 x 102) + (8 x 101) + (6 x 100)
1.2 Système décimal
C’est le système de base 10 que nous utilisons tous les jours. Il comprend dix symboles différents: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.
Tout nombre écrit dans le système décimal vérifie la relation suivante :
745 = 7 × 100 + 4 × 10 + 5 × 1
745 = 7 × 10 × 10 + 4 × 10 + 5 × 1
745 = 7 × 102 + 4 × 101 + 5 × 100
Chaque chiffre du nombre est à multiplier par une puissance de 10 : c'est ce que l'on nomme le poids du chiffre.
L'exposant de cette puissance est nul pour le chiffre situé le plus à droite et s'accroît d'une unité pour chaque passage à un chiffre vers la gauche.
Cette méthode de décomposition sera utilisée pour toutes les autres bases.
Par convention nous l’écrirons N= (745)10. L’indice '10' indique la base dans laquelle le nombre est écrit. Nous verrons plus tard que cela a son importance.
1.3 Système binaire
Ce système dit de base 2 comprend deux symboles différents : 0 et 1. Chacun d’eux est aussi appelé bit qui est la contraction de l’anglais binary digit (élément binaire).
Exemple : (1001 1011)2 est un nombre binaire de 8 bits.
Pour écrire un chiffre on ne peut utiliser que ces deux symboles. Ainsi l'écriture suivante est correcte :
N = (11001)2. Par contre l'écriture suivante ne l'est pas : N = (201253)2.
Dans cette dernière écriture les symboles 2, 3 et 5 sont interdits car la base utilisée est la base binaire (indiquée par l'indice 2).
Tout ceci est très bien, mais que vaut le chiffre (11001)2 dans la base 10 (qui est pour nous la base naturelle)?
Tout d'abord nous allons décomposer le nombre dans sa base (comme ci-dessus).
Nous avons donc : N = (11001)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 0.21 + 0.20Il ne reste plus qu'à calculer ce que nous venons d'écrire, ainsi N vaut (25)10.
En utilisant n bits, on peut former 2n nombres différents et le plus grand d’entre eux est égal à 2n-1. Par exemple avec un dispositif à 3 bits (n = 3), on peut représenter 23 = 8 nombres différents dont le plus grand est (111)2 = (7)10.
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